1135x35795x5385x4275=? పై సమీకరణంలో చివరి రెండు అంకెలేవీ? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం కావాలంటే, మొత్తం గుణించాల్సిన అవసరం లేదు. ఒక చిన్న లాజిక్ అర్థం చేసుకుంటే సరిపోతుంది. అంతకు ముందు, 5 ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్నప్పుడు, దానికి ముందు, అంటే పదులు లేదా వందల స్థానాల్లో సరి లేదా బేసి సంఖ్యలు ఉన్నప్పుడు, వచ్చే జవాబులను పరిశీలిస్తే, తేలిగ్గా సమాధానం కనుగొనేందుకు వీలుంటుంది. కింది మూడింటిని పరిశీలించండి..... 1. 25x25=625, 2. 35x35=1225. 3. 15x 25=375 ఇందులో మొదటి సమీకరణంలో ముందు, రెండు ఉంది, అది సరి సంఖ్య, ఈ సమీకరణంలో వచ్చిన జవాబు 625. దీనిలో గుర్తించాల్సింది ఏంటంటే, అయిదుకు ముందు, సరి సంఖ్య ఉంటే, అ రెండు సంఖ్యలను గుణిస్తే, వచ్చే జవాబులో చివరి రెండు సంఖ్యలు 25 అయి ఉంటాయి. 45X45, లేదా 65x65, ఇలా ఏ సమీకరణాన్ని తీసుకున్నప్పటికీ సమాధానంలో చివరి రెండు సంఖ్యలు 25 ఉంటాయి. అదే విధంగా రెండో సమీకరణం 35x35, దీని జవాబులోనూ చివరి రెండు అంకెలు 25గానే ఉన్నాయి. దీని ఆధారంగా గుర్తించాల్సిన అంశం ఏమిటంటే, ఒకట్ల స్థానంలో ఉండి, దానికి ముందు, అంటే పదులు లేదా వందల స్థానంలో సరి లేదా బేసి సంఖ్యలు ఉంటే, వచ్చే బ్దంలో చివరి రెండు అంకెలు 25గా ఉంటాయి. ఇప్పుడు మూడో సమీకరణాన్ని పరిశీలిస్తే, ఒక దానిలో అయిదుకు ముందు బేసి సంఖ్య (15), మరో దానిలో అయిదుకు ముందు సరిసంఖ్య (25), ఉంది, ఇలా రెండు విభిన్న సంఖ్యలు ఉన్నప్పుడు వచ్చే ఫలితంలో చివరి రెండు అంకెలు 75 అయి ఉంటాయి. ఈ మూడు అంశాల ఆధారంగా పైన ఇచ్చిన సమీకరణంలో సమాధానాన్ని అత్యంత తేలిగ్గా కనుక్కోవచ్చు. 1135x35795x5385x4275=? ఇందులో నాలుగు సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మొదటిది 1135, ఇందులో అయిదుకు ముందు 113 ఉంది, ఇది బేసి సంఖ్య, అలాగే రెండో సంఖ్య, 35795, ఇందులో అయిదుకు ముందు 3579 ఉంది, ఇది బేసి సంఖ్య. ఈ రెండు సంఖ్యలను గుర్తిస్తే, ఖచ్చితంగా చివరి రెండు అంకెలు 25 అయి ఉంటాయి (ఇంతకు ముందు చెప్పినట్లు, అయిదుకు ముందు రెండు బేసి సంఖ్యలు ఉన్న పక్షంలో ఫలిత లబ్ధంలో చివరన 25 ఉంటుంది.) ఇప్పుడు చివరి రెండు సంఖ్యలను పరిశీలిస్తే, 5385, అయిదుకు ముందు 538 ఉంది, ఇది సరి సంఖ్య, దీనిని 4275తో గుణించాలి, ఈ సంఖ్యలో 5 కు ముందు 427 ఉంది, ఇది బేసి సంఖ్య, కాబట్టి , చివరి రెండు పదాలను గుణిస్తే, వచ్చే ఫలిత లబ్ధంలో చివరి రెండు పదాలు 75 అయి ఉంటాయి. (ఇంతకుముందు పేర్కొన్నట్లు సరి, బేసిలు ఉండి, చివరన అయిదు ఉంటే, వాటి ఫలిత లబ్ధంలో చివరన 75 ఉంటుంది.) ఇప్పుడు తొలి రెండింటి లబ్ధం 25 కాగా చివరి రెండు అంకెల లబ్ధం 75. వీటిని గుణిస్తే, కచ్చితంగా అంతిమ సంఖ్యలు7,5లు వస్తాయి.. ఎందుకంటే సరి, బేసిలు ఉండి, చివరన అయిదు ఉంటే, వాటి ఫలిత లబ్ధంలో చివరన 75 ఉంటుందని ఇప్పుడే తెలుసుకున్నాం. అయిదుకు ఉన్న ఈ ప్రత్యేకతని ఇలా తేలిగ్గా అర్థం చేసుకుంటే, చాలా తేలికగా సమాధానాలు గుర్తించొచ్చు. అయిదుతో తేలిగ్గా వర్గాలు కనుగొనే మరో టెక్నిక్‌ను పరిశీలిద్దాం. 25x25=625, 55x55=3025. చివరన అయిదు ఉన్న ఏ సంఖ్యావర్గమైనా అంతకు ముందు ఉన్న పదానికి ఒకటి కలిపి గుణించాలి, అంటే 55x55లో, చివరి రెండు పదాలు 25, తెలిసిందే, పదుల స్థానంలో 5 ఉంది కాబట్టి, అయిదును, దాని తర్వాత వచ్చే 6తో గుణించాలి, 5x6=30, కాబట్టి మొత్తం సమాధానం 3025 అవుతుంది. 75x75, దీనికి సమాధానం నేరుగా 7x8 చేయాలి(ఎందుకంటే పదుల స్థానంలో 7 ఉంది కాబట్టి), దీనికి జవాబు 5625. నియమంః గుణించాల్సిన రెండు సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న రెండు అంకెల మొత్తం 10 అయి ఉండి, దానికి ముందు ఉన్న సంఖ్యలు సమానంగా ఉండే అన్ని సంఖ్యలకు ఈ నియమం వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు.. 72x78=, ఇందులో ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న 8, 2 లను కలిపితే 10 వస్తుంది, అలాగే పదుల స్థానంలో రెండింటిలోనూ ఒక అంకె, 7 ఉంది కాబట్టి, దీనికి కూడా ఈ నియమం వర్తిసుంది, కాబట్టి దీని జవాబు, 8x2=16, 7x8=56, 5616. 93x97=, 9021. పెద్ద సంఖ్యలో, ఒకట్లు, పదుల స్థానాల్లో ఉండే అంకెల మొత్తం, 100 అయితే ఈ నియమం కొంచెం మార్చి, అనువర్తింప చేసుకోవచ్చు. ఎలాగంటే.... 298x202=?, ఇందులో 98 (మొదటి సంఖ్యలోనివి), 02 (ండో సంఖ్యలోనివి)కలిపితే 100 వస్తుంది, దీనికి సమాధానం గుర్తించాల్సిన తీరు... 98x02=196 ఇందులో మనకు నాలుగు అంకెలు ఉన్నాయి అవి, 9, 8, 0, 2. కాని వచ్చిన సమాధానంలో 196లో మూడు అంకెలే ఉన్నాయి, కాబట్టి దీనికి ముందు 0ను చేర్చాలి, అంటే మన సమాధానంలో చివరి నాలుగు అంకెలు 0196, ఇప్పుడు వందల స్థానంలో ఉన్న 2, ఆ తర్వాత వచ్చే, 3తో గుణించగా, సమాధానం 6వస్తుంది, కాబట్టి మొత్తం జవాబు 60196. మరో ఉదాహరణ పరిశీలిద్దాం 3996x3004=? 996, 004 కలిపితే, మొత్తం 1000 అవుతుంది. ఇందులో 996 ను రెండో అంకెలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న నాలుగుతో గుణించగా, 398ని రెండో సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న నాలుగుతో గుణిస్తే సమాధానం 3984 వస్తుంది, ఇందులో నాలుగు అంకెలు ఉన్నాయి. కాని మనకు మొత్తం పదాలు, 9, 9, 8, 0, 0, 4. మొత్తం ఆరు అంకెలు ఉన్నాయి కాబట్టి, 3984కు ముందు, రెండు సున్నాలను చేర్చుతాం, ఆ తర్వాత, వేల స్థానంలో రెండు సంఖ్యల్లోనూ మూడు ఉంది కాబట్టి, మూడును ఆ తర్వాత సంఖ్య అయిన నాలుగుతో గుణిస్తే, 12 వస్తుంది, కాబట్టి మొత్తం సమాధానం 12003984. ఇప్పుడు, ఈ సంఖ్యకు సమాధానం నోటితో చెప్పండి, 998x902=.....
Friday, February 28, 2014
గుణకారం వద్దు- లాజిక్ చాలు
1135x35795x5385x4275=? పై సమీకరణంలో చివరి రెండు అంకెలేవీ? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం కావాలంటే, మొత్తం గుణించాల్సిన అవసరం లేదు. ఒక చిన్న లాజిక్ అర్థం చేసుకుంటే సరిపోతుంది. అంతకు ముందు, 5 ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్నప్పుడు, దానికి ముందు, అంటే పదులు లేదా వందల స్థానాల్లో సరి లేదా బేసి సంఖ్యలు ఉన్నప్పుడు, వచ్చే జవాబులను పరిశీలిస్తే, తేలిగ్గా సమాధానం కనుగొనేందుకు వీలుంటుంది. కింది మూడింటిని పరిశీలించండి..... 1. 25x25=625, 2. 35x35=1225. 3. 15x 25=375 ఇందులో మొదటి సమీకరణంలో ముందు, రెండు ఉంది, అది సరి సంఖ్య, ఈ సమీకరణంలో వచ్చిన జవాబు 625. దీనిలో గుర్తించాల్సింది ఏంటంటే, అయిదుకు ముందు, సరి సంఖ్య ఉంటే, అ రెండు సంఖ్యలను గుణిస్తే, వచ్చే జవాబులో చివరి రెండు సంఖ్యలు 25 అయి ఉంటాయి. 45X45, లేదా 65x65, ఇలా ఏ సమీకరణాన్ని తీసుకున్నప్పటికీ సమాధానంలో చివరి రెండు సంఖ్యలు 25 ఉంటాయి. అదే విధంగా రెండో సమీకరణం 35x35, దీని జవాబులోనూ చివరి రెండు అంకెలు 25గానే ఉన్నాయి. దీని ఆధారంగా గుర్తించాల్సిన అంశం ఏమిటంటే, ఒకట్ల స్థానంలో ఉండి, దానికి ముందు, అంటే పదులు లేదా వందల స్థానంలో సరి లేదా బేసి సంఖ్యలు ఉంటే, వచ్చే బ్దంలో చివరి రెండు అంకెలు 25గా ఉంటాయి. ఇప్పుడు మూడో సమీకరణాన్ని పరిశీలిస్తే, ఒక దానిలో అయిదుకు ముందు బేసి సంఖ్య (15), మరో దానిలో అయిదుకు ముందు సరిసంఖ్య (25), ఉంది, ఇలా రెండు విభిన్న సంఖ్యలు ఉన్నప్పుడు వచ్చే ఫలితంలో చివరి రెండు అంకెలు 75 అయి ఉంటాయి. ఈ మూడు అంశాల ఆధారంగా పైన ఇచ్చిన సమీకరణంలో సమాధానాన్ని అత్యంత తేలిగ్గా కనుక్కోవచ్చు. 1135x35795x5385x4275=? ఇందులో నాలుగు సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మొదటిది 1135, ఇందులో అయిదుకు ముందు 113 ఉంది, ఇది బేసి సంఖ్య, అలాగే రెండో సంఖ్య, 35795, ఇందులో అయిదుకు ముందు 3579 ఉంది, ఇది బేసి సంఖ్య. ఈ రెండు సంఖ్యలను గుర్తిస్తే, ఖచ్చితంగా చివరి రెండు అంకెలు 25 అయి ఉంటాయి (ఇంతకు ముందు చెప్పినట్లు, అయిదుకు ముందు రెండు బేసి సంఖ్యలు ఉన్న పక్షంలో ఫలిత లబ్ధంలో చివరన 25 ఉంటుంది.) ఇప్పుడు చివరి రెండు సంఖ్యలను పరిశీలిస్తే, 5385, అయిదుకు ముందు 538 ఉంది, ఇది సరి సంఖ్య, దీనిని 4275తో గుణించాలి, ఈ సంఖ్యలో 5 కు ముందు 427 ఉంది, ఇది బేసి సంఖ్య, కాబట్టి , చివరి రెండు పదాలను గుణిస్తే, వచ్చే ఫలిత లబ్ధంలో చివరి రెండు పదాలు 75 అయి ఉంటాయి. (ఇంతకుముందు పేర్కొన్నట్లు సరి, బేసిలు ఉండి, చివరన అయిదు ఉంటే, వాటి ఫలిత లబ్ధంలో చివరన 75 ఉంటుంది.) ఇప్పుడు తొలి రెండింటి లబ్ధం 25 కాగా చివరి రెండు అంకెల లబ్ధం 75. వీటిని గుణిస్తే, కచ్చితంగా అంతిమ సంఖ్యలు7,5లు వస్తాయి.. ఎందుకంటే సరి, బేసిలు ఉండి, చివరన అయిదు ఉంటే, వాటి ఫలిత లబ్ధంలో చివరన 75 ఉంటుందని ఇప్పుడే తెలుసుకున్నాం. అయిదుకు ఉన్న ఈ ప్రత్యేకతని ఇలా తేలిగ్గా అర్థం చేసుకుంటే, చాలా తేలికగా సమాధానాలు గుర్తించొచ్చు. అయిదుతో తేలిగ్గా వర్గాలు కనుగొనే మరో టెక్నిక్‌ను పరిశీలిద్దాం. 25x25=625, 55x55=3025. చివరన అయిదు ఉన్న ఏ సంఖ్యావర్గమైనా అంతకు ముందు ఉన్న పదానికి ఒకటి కలిపి గుణించాలి, అంటే 55x55లో, చివరి రెండు పదాలు 25, తెలిసిందే, పదుల స్థానంలో 5 ఉంది కాబట్టి, అయిదును, దాని తర్వాత వచ్చే 6తో గుణించాలి, 5x6=30, కాబట్టి మొత్తం సమాధానం 3025 అవుతుంది. 75x75, దీనికి సమాధానం నేరుగా 7x8 చేయాలి(ఎందుకంటే పదుల స్థానంలో 7 ఉంది కాబట్టి), దీనికి జవాబు 5625. నియమంః గుణించాల్సిన రెండు సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న రెండు అంకెల మొత్తం 10 అయి ఉండి, దానికి ముందు ఉన్న సంఖ్యలు సమానంగా ఉండే అన్ని సంఖ్యలకు ఈ నియమం వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు.. 72x78=, ఇందులో ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న 8, 2 లను కలిపితే 10 వస్తుంది, అలాగే పదుల స్థానంలో రెండింటిలోనూ ఒక అంకె, 7 ఉంది కాబట్టి, దీనికి కూడా ఈ నియమం వర్తిసుంది, కాబట్టి దీని జవాబు, 8x2=16, 7x8=56, 5616. 93x97=, 9021. పెద్ద సంఖ్యలో, ఒకట్లు, పదుల స్థానాల్లో ఉండే అంకెల మొత్తం, 100 అయితే ఈ నియమం కొంచెం మార్చి, అనువర్తింప చేసుకోవచ్చు. ఎలాగంటే.... 298x202=?, ఇందులో 98 (మొదటి సంఖ్యలోనివి), 02 (ండో సంఖ్యలోనివి)కలిపితే 100 వస్తుంది, దీనికి సమాధానం గుర్తించాల్సిన తీరు... 98x02=196 ఇందులో మనకు నాలుగు అంకెలు ఉన్నాయి అవి, 9, 8, 0, 2. కాని వచ్చిన సమాధానంలో 196లో మూడు అంకెలే ఉన్నాయి, కాబట్టి దీనికి ముందు 0ను చేర్చాలి, అంటే మన సమాధానంలో చివరి నాలుగు అంకెలు 0196, ఇప్పుడు వందల స్థానంలో ఉన్న 2, ఆ తర్వాత వచ్చే, 3తో గుణించగా, సమాధానం 6వస్తుంది, కాబట్టి మొత్తం జవాబు 60196. మరో ఉదాహరణ పరిశీలిద్దాం 3996x3004=? 996, 004 కలిపితే, మొత్తం 1000 అవుతుంది. ఇందులో 996 ను రెండో అంకెలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న నాలుగుతో గుణించగా, 398ని రెండో సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న నాలుగుతో గుణిస్తే సమాధానం 3984 వస్తుంది, ఇందులో నాలుగు అంకెలు ఉన్నాయి. కాని మనకు మొత్తం పదాలు, 9, 9, 8, 0, 0, 4. మొత్తం ఆరు అంకెలు ఉన్నాయి కాబట్టి, 3984కు ముందు, రెండు సున్నాలను చేర్చుతాం, ఆ తర్వాత, వేల స్థానంలో రెండు సంఖ్యల్లోనూ మూడు ఉంది కాబట్టి, మూడును ఆ తర్వాత సంఖ్య అయిన నాలుగుతో గుణిస్తే, 12 వస్తుంది, కాబట్టి మొత్తం సమాధానం 12003984. ఇప్పుడు, ఈ సంఖ్యకు సమాధానం నోటితో చెప్పండి, 998x902=.....
